Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función que definimos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos sucesos.
La probabilidad P de un suceso E, denotada por P(E), se define con respecto a un "universo" o espacio muestral Ω, conjunto de todos los posibles sucesos elementales, tal que P verifique los Axiomas de Kolmogórov, enunciados por el matemático ruso de este nombre en 1933. En este sentido, el suceso E es, en términos matemáticos, un subconjunto de Ω.
Primer axioma
La probabilidad de un suceso A es un número real mayor o igual que 0.
La probabilidad de un suceso es un número positivo o nulo.
Segundo axioma
La probabilidad del total, Ω, es igual a 1.
Ω representa todas las posibles alternativas y se denomina suceso seguro.
Tercer axioma
Si A1, A2... son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, disjuntos o de intersección vacía dos a dos), entonces:
.
Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.
Propiedades que se deducen de los axiomas [editar]
De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad:
donde el conjunto vacío representa en probabilidad el suceso imposible
Para cualquier suceso
Si entonces
En términos más formales, una probabilidad es una medida sobre una σ-álgebra de subconjuntos del espacio muestral, siendo los subconjuntos miembros de la σ-álgebra los sucesos y definida de tal manera que la medida del total sea 1. Tal medida, gracias a su definición matemática, verifica igualmente los tres axiomas de Kolmogórov. A la terna formada por el espacio muestral, la σ-álgebra y la función de probabilidad se la denomina Espacio probabilístico, esto es, un "espacio de sucesos" (el espacio muestral) en el que se han definido los posibles sucesos a considerar (la σ-álgebra) y la probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad).
Como ejemplo se puede tomar como espacio muestral a los posibles resultados al arrojar un dado corriente , tomaremos como σ-álgebra todos los subconjuntos posibles de Ω (que en matemáticas se denota por ) y como función de probabilidad
Es fácil comprobar que esta función verifica los tres axiomas de Kolmogórov y, por tanto, constituye una probabilidad sobre este conjunto.
, puesto que es el cociente de dos números positivos
jueves, 3 de diciembre de 2009
PROBLEMAS DE PROBABILIDAD
1.-Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un cheque con fecha equivocada es de 0.001. En cambio, todo cliente sin fondos pone una fecha errónea en sus cheques. El 90% de los clientes del banco tienen fondos. Se recibe hoy en caja un cheque con fecha equivocada. ¿Qué probabilidad hay de que sea de un cliente sin fondos?
A: Que el cliente tiene fondos en su cuenta.
P(B) 0.1009
B: Que el cliente extienda cheque con fecha equivocada.
P (BIA)= 0.001
P (BIA´)= 1
P(A)= 0.90
P(BIA)= P(A^B)/P(A)
P(A^B)= P(A) * P(BIA)=(0.90)(0.001)=0.0009
P(BIA´)=P(A´^B)/P(A´)
P(A´^B)= P(A´) * P(BIA´)= (0.10) * (1)= 0.10
P(A´IB)= P(A´^B) = 0.10 = 0.99
2.-En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. Se selecciona un alumno al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica?
A: Que el alumno estudie ingles.
B: Que el alumno sea chico.
P(A)= 0.90P(A´ ) = 1-0.90 = 0.10
P(A^B)= 0.27P(A^B´)= 0.63
a) * P(B´) = P(A^B´)+P(A´^B´)= 0.63 + 0.06= 0.69
3.- En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega fútbol, ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccionó al azar un alumno que:
a) Juegue sólo al fútbol.
b) Juegue sólo al baloncesto.
c) Practique uno solo de los deportes
d) No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.
A:Que juegue futbol.
B: Que juegue baloncesto.
P(A^B)= 0.60 P(A^B)= 0.10 P(A´) = 0.60 P(A) = 0.40
a) Que juegue solo futbol.
P(A) – P(A^B)= 0.40 – 0.10 = 0.30
b) Que juegue solo baloncesto.
P(AUB) – P(A)= 0.60 – 0.30 = 0.30
c) Que practique uno solo de los deportes.
P(A) + P(B) – P(A^B)=0.40+0.30-0.10=0.6
d) Que no juegue futbol, ni baloncesto.
1-P(A) – P(B) = 1- 0.40 – 0.3 = 0.30
4.- En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:
a) Si tiene los cabellos castaños, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños.
b) Si tienen ojos castaños, ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
A: La población tiene cabello
B: La población tiene ojos castaños
P(A)= 40% P(B)= 25% P(A ΩB)= 15%
a)P(BIA)= P(A ΩB) = 15 = 0.375P(A) 40
b)P(AIB)= P(A ΩB) = 15 = 0.6P (B) 20
c)P(A´ ΩB´) = P(A´ ΩB´) = 15 = 0.6P (B´) 20
5.- Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que se realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.
a) Si va a realizar el examen, ¿Cuál es la posibilidad de que haya oído el despertador?
b) Si no realiza el examen, ¿Cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?
A: Que escuche e despertador
B: Que realice e examen
P (A) =0.80 P (BIA) =0.90 P (A´) =0.20 P (B¨IA¨) =0.50 P(AIB)= ? P (BIA)= P (AΩB)P(A)
P (AΩB)=P(A). P (BIA)= (0.80) (0.90)=0.72
P (B´IA)= P (A´Ω B´)P (A´)P(A´ΩB´)= P(A´). P(B´IA´)=(0.20)(0.50)= 0.10
a) P(AIB)= P(A ΩB)P(B)= 0.72 =0.870.82
b) P(A´IB´)= P(A´ ΩB´)P(B´)= 0.10 = 0.50.18
6.- En un estudio reciente de 1700 compañías se encontró que 49% de ellas realizan estudios serios sobre la eficiencia de su publicidad, el 61% llevan a cabo pronósticos de ventas a corto plazo y 38% de ellas hacen ambas cosas. Si una de estas compañías se selecciona al azar, encuentre la probabilidad de que:
a) L a compañía realice estudios serios sobre la eficiencia de su publicidad?
b) La compañía lleve a cobo pronósticos de ventas a corto plazo?
c) La compañía realice estudios serios sobre la eficiencia de su publicidad o lleve a cabo
pronósticos de ventas a corto plazo?
d) Si se sabe que la compañía lleva a cabo pronósticos de ventas a corto plazo realice estudios serios sobre la eficiencia de su publicidad?
A: La compañía realiza estudios serios sobre la eficacia de su publicidad
B: La compañía lleva a cabo pronósticos de ventas a corto plazo
P(A)= 0.49 P(B)= 0.6 P(A ΩB)=0.38
A) P(A)= 0.49
B) P(B)= 0.6
C) P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A ΩB)= 0.49+0.6-0.38= 0.71
D) P(AIB) = P(A ΩB)P(B)= 0.38 =0.630.6
7.- Los accidentes automovilísticos que ocurren en dos ciudades diferentes, A y B, son independientes (como generalmente lo son en las ciudades). En el crucero más peligrosote la ciudad A la probabilidad de que ocurra un accidente es de 1 . La25Probabilidad en el crucero más peligroso en el crucero de la ciudad B es 1. ¿Cuál es laProbabilidad de que: 32
a) en la ciudad A no ocurra accidente en el crucero observado?
b) En la ciudad B no ocurra accidente en el crucero observado?
c) En las dos ciudades no ocurra accidente en los cruceros observados?
A: Que ocurra un accidente en la ciudad A.
B: Que ocurra un accidente en la ciudad B.
P(A) = 1 = 0.04 = P(A´) = 1 – 0.04= 0.9625
P(B) = 1 = 0.03125 = P(B´) = 1-B = 0.968732
a) = 0.96
b) =0.9687
c) = 0.93P(A´^B´) = P(A´) . P(B´)= 80.96) (0.9687) = 0.93
8.- En un grupo de un CBtis, 50% de los estudiantes aprobó el curso de matemáticas V, 45% aprobó el curso de Física II, y 45% aprobó el curso de tecnología. De ellos, 5% aprobó los tres cursos; 10% aprobó matemáticas y física; 10% aprobó matemáticas y tecnología pero no física, y el 15% aprobó solamente tecnología.
a) Dibuja un diagrama de Venn para esta situación.
b) ¿Qué porcentaje de estudiantes aprobó solo el curso de matemáticas?
c) ¿Qué porcentaje de estudiantes aprobó solo el curso de física?
A: Estudiantes que aprobaron el curso de matemáticas V.
B: Estudiantes que aprobaron el curso de física.
C: Estudiantes que aprobaron el curso de tecnología.
a)P(A)= 0.50 P(B)= 0.45 P(C)=0.45
9.- Un carpintero mide un claro donde colocará una puerta que él construirá. La probabilidad de que se equivoque al medir es de 0.04. Además, la probabilidad de que la puerta no le guste al cliente es de 0.06 ¿Cuál es la probabilidad de que la puerta:
a) Haya sido bien medida y le guste al cliente?
b) Haya sido bien medida y no le guste al cliente?
c) Haya sido bien medida o le guste al cliente?
A: Que se equivoque al medir
B: Que no le guste al cliente
P (AΩB) =P (A) P(B)=(0.04)(0.06)=0.0024P (A´Ω B´) = (A´) (B´)
a)= (0.96) (0.94) = 0.9024
b)=P (A´Ω B) = P (A´) P (B) = (0.96)(0.6)=0.576
c) P (A´. B´) =P (A´) + P (B´) – P (A´Ω B´)P (A´U B´) = (0.96) + (0.94) – 0.9024 = 0.9976
10.- Suponga de que gran compañía contrata personal con y sin estudios universitarios para realizar el mismo trabajo. Después de cierto tiempo, el personal es calificado porLos supervisores. Las probabilidades de calificación del desempeño para los dos tiposDe los empleados se muestra a continuación: Si se selecciona un empleado al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que :
a) Tenga educación universitaria?
b) Tenga desempeño malo?
c) No tenga educación universitaria y tenga desempeño bueno?
d) Si se sabe que tiene educación universitaria su desempeño sea bueno?
e) Si se sabe que su desempeño fue malo que tenga educación universitaria?
A: Tenga educación universitaria
B: Tenga buen desempeño
P (AΩB) =0.12P (AΩB´) =0.28P (A´ΩB) =0.18P (A´ΩB´) =0.42
a) P(AΩB)=P(A) P(B)P (A) = P (AΩB) = 0.12 = 0.4P (B) 0.3
b) P(B´)= P(AΩB´)= 0.28 = 0.70P(A) 0.9
c) P(A´Ω B)= P(A´) P(B)= (0.60)(0.30)= 0.10
d) (B/A)= P(AΩB) =0.12 = 0.30P (A) 0.40
e) P(A/B´)= P(AΩB´) = 0.28 = 0.40 P(B´) 0.70
A: Que el cliente tiene fondos en su cuenta.
P(B) 0.1009
B: Que el cliente extienda cheque con fecha equivocada.
P (BIA)= 0.001
P (BIA´)= 1
P(A)= 0.90
P(BIA)= P(A^B)/P(A)
P(A^B)= P(A) * P(BIA)=(0.90)(0.001)=0.0009
P(BIA´)=P(A´^B)/P(A´)
P(A´^B)= P(A´) * P(BIA´)= (0.10) * (1)= 0.10
P(A´IB)= P(A´^B) = 0.10 = 0.99
2.-En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. Se selecciona un alumno al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica?
A: Que el alumno estudie ingles.
B: Que el alumno sea chico.
P(A)= 0.90P(A´ ) = 1-0.90 = 0.10
P(A^B)= 0.27P(A^B´)= 0.63
a) * P(B´) = P(A^B´)+P(A´^B´)= 0.63 + 0.06= 0.69
3.- En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega fútbol, ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccionó al azar un alumno que:
a) Juegue sólo al fútbol.
b) Juegue sólo al baloncesto.
c) Practique uno solo de los deportes
d) No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.
A:Que juegue futbol.
B: Que juegue baloncesto.
P(A^B)= 0.60 P(A^B)= 0.10 P(A´) = 0.60 P(A) = 0.40
a) Que juegue solo futbol.
P(A) – P(A^B)= 0.40 – 0.10 = 0.30
b) Que juegue solo baloncesto.
P(AUB) – P(A)= 0.60 – 0.30 = 0.30
c) Que practique uno solo de los deportes.
P(A) + P(B) – P(A^B)=0.40+0.30-0.10=0.6
d) Que no juegue futbol, ni baloncesto.
1-P(A) – P(B) = 1- 0.40 – 0.3 = 0.30
4.- En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:
a) Si tiene los cabellos castaños, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños.
b) Si tienen ojos castaños, ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
A: La población tiene cabello
B: La población tiene ojos castaños
P(A)= 40% P(B)= 25% P(A ΩB)= 15%
a)P(BIA)= P(A ΩB) = 15 = 0.375P(A) 40
b)P(AIB)= P(A ΩB) = 15 = 0.6P (B) 20
c)P(A´ ΩB´) = P(A´ ΩB´) = 15 = 0.6P (B´) 20
5.- Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que se realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.
a) Si va a realizar el examen, ¿Cuál es la posibilidad de que haya oído el despertador?
b) Si no realiza el examen, ¿Cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?
A: Que escuche e despertador
B: Que realice e examen
P (A) =0.80 P (BIA) =0.90 P (A´) =0.20 P (B¨IA¨) =0.50 P(AIB)= ? P (BIA)= P (AΩB)P(A)
P (AΩB)=P(A). P (BIA)= (0.80) (0.90)=0.72
P (B´IA)= P (A´Ω B´)P (A´)P(A´ΩB´)= P(A´). P(B´IA´)=(0.20)(0.50)= 0.10
a) P(AIB)= P(A ΩB)P(B)= 0.72 =0.870.82
b) P(A´IB´)= P(A´ ΩB´)P(B´)= 0.10 = 0.50.18
6.- En un estudio reciente de 1700 compañías se encontró que 49% de ellas realizan estudios serios sobre la eficiencia de su publicidad, el 61% llevan a cabo pronósticos de ventas a corto plazo y 38% de ellas hacen ambas cosas. Si una de estas compañías se selecciona al azar, encuentre la probabilidad de que:
a) L a compañía realice estudios serios sobre la eficiencia de su publicidad?
b) La compañía lleve a cobo pronósticos de ventas a corto plazo?
c) La compañía realice estudios serios sobre la eficiencia de su publicidad o lleve a cabo
pronósticos de ventas a corto plazo?
d) Si se sabe que la compañía lleva a cabo pronósticos de ventas a corto plazo realice estudios serios sobre la eficiencia de su publicidad?
A: La compañía realiza estudios serios sobre la eficacia de su publicidad
B: La compañía lleva a cabo pronósticos de ventas a corto plazo
P(A)= 0.49 P(B)= 0.6 P(A ΩB)=0.38
A) P(A)= 0.49
B) P(B)= 0.6
C) P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A ΩB)= 0.49+0.6-0.38= 0.71
D) P(AIB) = P(A ΩB)P(B)= 0.38 =0.630.6
7.- Los accidentes automovilísticos que ocurren en dos ciudades diferentes, A y B, son independientes (como generalmente lo son en las ciudades). En el crucero más peligrosote la ciudad A la probabilidad de que ocurra un accidente es de 1 . La25Probabilidad en el crucero más peligroso en el crucero de la ciudad B es 1. ¿Cuál es laProbabilidad de que: 32
a) en la ciudad A no ocurra accidente en el crucero observado?
b) En la ciudad B no ocurra accidente en el crucero observado?
c) En las dos ciudades no ocurra accidente en los cruceros observados?
A: Que ocurra un accidente en la ciudad A.
B: Que ocurra un accidente en la ciudad B.
P(A) = 1 = 0.04 = P(A´) = 1 – 0.04= 0.9625
P(B) = 1 = 0.03125 = P(B´) = 1-B = 0.968732
a) = 0.96
b) =0.9687
c) = 0.93P(A´^B´) = P(A´) . P(B´)= 80.96) (0.9687) = 0.93
8.- En un grupo de un CBtis, 50% de los estudiantes aprobó el curso de matemáticas V, 45% aprobó el curso de Física II, y 45% aprobó el curso de tecnología. De ellos, 5% aprobó los tres cursos; 10% aprobó matemáticas y física; 10% aprobó matemáticas y tecnología pero no física, y el 15% aprobó solamente tecnología.
a) Dibuja un diagrama de Venn para esta situación.
b) ¿Qué porcentaje de estudiantes aprobó solo el curso de matemáticas?
c) ¿Qué porcentaje de estudiantes aprobó solo el curso de física?
A: Estudiantes que aprobaron el curso de matemáticas V.
B: Estudiantes que aprobaron el curso de física.
C: Estudiantes que aprobaron el curso de tecnología.
a)P(A)= 0.50 P(B)= 0.45 P(C)=0.45
9.- Un carpintero mide un claro donde colocará una puerta que él construirá. La probabilidad de que se equivoque al medir es de 0.04. Además, la probabilidad de que la puerta no le guste al cliente es de 0.06 ¿Cuál es la probabilidad de que la puerta:
a) Haya sido bien medida y le guste al cliente?
b) Haya sido bien medida y no le guste al cliente?
c) Haya sido bien medida o le guste al cliente?
A: Que se equivoque al medir
B: Que no le guste al cliente
P (AΩB) =P (A) P(B)=(0.04)(0.06)=0.0024P (A´Ω B´) = (A´) (B´)
a)= (0.96) (0.94) = 0.9024
b)=P (A´Ω B) = P (A´) P (B) = (0.96)(0.6)=0.576
c) P (A´. B´) =P (A´) + P (B´) – P (A´Ω B´)P (A´U B´) = (0.96) + (0.94) – 0.9024 = 0.9976
10.- Suponga de que gran compañía contrata personal con y sin estudios universitarios para realizar el mismo trabajo. Después de cierto tiempo, el personal es calificado porLos supervisores. Las probabilidades de calificación del desempeño para los dos tiposDe los empleados se muestra a continuación: Si se selecciona un empleado al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que :
a) Tenga educación universitaria?
b) Tenga desempeño malo?
c) No tenga educación universitaria y tenga desempeño bueno?
d) Si se sabe que tiene educación universitaria su desempeño sea bueno?
e) Si se sabe que su desempeño fue malo que tenga educación universitaria?
A: Tenga educación universitaria
B: Tenga buen desempeño
P (AΩB) =0.12P (AΩB´) =0.28P (A´ΩB) =0.18P (A´ΩB´) =0.42
a) P(AΩB)=P(A) P(B)P (A) = P (AΩB) = 0.12 = 0.4P (B) 0.3
b) P(B´)= P(AΩB´)= 0.28 = 0.70P(A) 0.9
c) P(A´Ω B)= P(A´) P(B)= (0.60)(0.30)= 0.10
d) (B/A)= P(AΩB) =0.12 = 0.30P (A) 0.40
e) P(A/B´)= P(AΩB´) = 0.28 = 0.40 P(B´) 0.70
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